POLINOMIAL

    Polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematika yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau lebih variabel dengan koefisien.
       •Contoh Polinomial
f(x)= x³-2x²+3x-9
      • Bukan contoh Polinomial
f(x)= x^½ -x+6

      Untuk mendapatkan nilai dari suatu polinomial dapat menggunakan 2 cara yaitu:
1. Teori Substitusi
2.  Teori Horner

   a.  Menggunakan teori substitusi
Contoh Soal
f(x)= 2x³+x²-6x-3
x=1

f(x) = 2x³+x²-6x-3
f(1) = 2(1)³+(1)²-6(1)-3
       = 2+1-6-3
       =-6

 b. Menggunakan teori horner
Contoh soal

f(x) = x³-2x²-x+2
Maka teori horner nya adalah
     
  Dan nilai dari polinomial tersebut adalah 0

  1. Operasi penjumlahan dan                         Pengurangan Polinomial
    Operasi penjumlahan dan pengurangan pada polinom memiliki prinsip yang sama yaitu menjumlahkan (atau mengurangi) suku-suku sejenis, yaitu suku-suku dengan pangkat peubah sama.
     Untuk pengurangan polinomial, selalu beri tanda kurung pada polinomial yang dikurangi. Fungsinya adalah untuk menegaskan bahwa tanda minus operasi pengurangan berlaku untuk setiap suku. Kesalahan yang sering terjadi adalah mengurangi hanya pada suku pertama saja karena lupa memberikan tanda kurung.
   Contoh Soal
f(x)= 3x⁴-x²+6x-2
g(x)= 2x-7
Tentukan
a. f(x)+ g(x)
b. f(x)-g(x)

Jawab
a.  f(x)+g(x)= (3x⁴-x²+6x-2)+(2x-7)
                   = 3x⁴-x²+8x-9
b. f(x)-g(x) = (3x⁴-x²+6x-2)-(2x-7)
                   =3x⁴-x²+6x-2x-2+7
                   =3x⁴-x²-4x+5

    2.  Operasi Perkalian Polinomial
     Operasi perkalian pada polinomial menggunakan sifat distributif.
Yaitu  (a+b)(c+d)= ac+ad+bc+bd .
Derajat polinomial hasil polinomial perkalian dapat diperoleh dari penjumlahan derajat polinomial-polinomial yang dikalikan. Jika polinomial berderajat k dikalikan dengan polinomia berderajat l maka akan menghasilkan polinomial berderajat k+l.

    Contoh
f(x)= 6x²-7x+7
g(x)= 4x+9

f(x).g(x)= ( 6x²-7x+7)(4x+9)
             =24x³+54x²-28x²-63x+28x+63
             =24x³+26x²-35x+63

          ALGORITMA PEMBAGIAN

f(x)=p(x).h(x)+s(x)
Dimana f(x)= fungsiPolinomial
              p(x)= Pembagi Polinomial
              h(x)= Hasil bagi Polinomial
              s(x)= Sisa bagi polinomial

       Pada algoritma pembagian ini menggunakan 2 cara, yaitu dengan :
1.Cara bersusun
2. Teorema Horner



1). Menggunakan pembagian bersusun
   Contoh soal
      f(x) = 2x³-3x²+x+5 : 2x²-x-1
           
                     
Maka algoritma pembagiannya adalah f(x) = p(x).h(x)+s(x)
2x³-3x²+x+5 = 2x²-x-1 . x-1 + x+4


 2) Menggunakan teorema Horner
        Contoh soal
          f(x)= x^5 +2x⁴-3x³-x²+7x-5 : x+3. Sehingga diperoleh

Maka algoritma pembagiannya adalah
f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
x^5 +2x⁴-3x³-x²+7x-5 = (x+3)(x⁴-x³-x+10)  -35


                        TEOREMA SISA

    1). Sisa Teorema 1
Pernyataan yang harus dibuktikan jika suku banyak f(x) dibagi x-k, maka akan
bersisa f(k) atau   bersisa f(k).
Contoh:
f(x)= 2x³+x-5  : x+2
maka x-k
           x+2=0
               x=-2

                   f(x)= 2x³+x-5
                    f(k)=2k³+k-5
                   f(-2)=2(-2)³+(-2)-5
                          =2(-8)-2-5
                          =-16-2-5
                          =-23

     2). Sisa Teorema 2
Jika suku banyak f(x) dibagi ax-b, maka akan bersisa f(b/a) .
Contoh
f(x)= x⁴+3x³+2x²+x-5 : 2x-1

   jawab
        ax-b=0
        2x-1=0
            2x=1
              x=½
 
f(x)= x⁴+3x³+2x²+x-5
f(½)=(½)⁴+3(½)³+2(½)²-½-5
       = ¹/16+ ⅜+ ½ - 9/2
       = 1+6+8-72 /16
       =-57/16

   3). Sisa Teorema 3

        Jika suku banyak f(x) dibagi.  (x-a) (x-b),  maka sisanya adalah    p(x)+q dimana f(a)=p(a)+q   dan f(b)= p(b)+q

Contoh soal
f(x) = x³-2x²+x+1 : x²-3x+2
   faktorkan pembagi terlebih dahulu

x²-3x+2
(x-1)(x-2)
a=1    b=2

f(x) = x³-2x²+x+1
f(a) = a³-2a²+a+1
f(1) = 1³-2(1)²+1+1
f(1) = 1-2+2
f(1) = 1

f(x) = x³-2x²+x+1
f(b) = b³-2b²+b+1
f(2) = 2³-2(2)²+2+1
f(2) = 8-8+2+1
f(2) = 3

f(a) = p(a)+q
f(1) = p(1)+q
1 = p+q....... pers 1

f(b) = p(b)+q
f(2) = p(2)+q
3= 2p+q....... pers 2

p+q =1
2p+q=3   -
    -p = -2
      p= 2
 

p+q = 1
2+q = 1
     q= -1
Jadi sisa pembagiaannya adalah
px+q
2x-1

            TEOREMA FAKTOR
Jika suatu algoritma pembagian diuraikan suatu sisa bernilai nol, maka itulah faktornya.
Contoh soal

 f(x) = x³+x²-10x+8
 Hal yang pertama dilakukan yaitu mencari faktor dari delapan , yaitu 1,2,4,dan 8. Pilih salah satu. Selanjutnya gunakan horner.

Sehingga menghasikan (x-2), 

Dari teori tersebut dihasilkan (x-1)(x+4)
Faktor tadi polinomial tersebut adalah {1,2,-4}
Sehingga :
f(x)= p(x).h(x)+s(x)
x³+x²-10x+8 = (x-2)(x-1)(x+4)



 Sekian, Terimakasih. Semoga bermanfaat.